考研数学：第一题这种反常积分的敛散性是咋判断的啊？

其他回答

• 姝同学
  判断下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值
  • 黄老师
    (1)小题。原式=-∫(01)d[√(1-x²)]=-√(1-x²)丨(x=01)=1。收敛。
    (2)小题。原式=∫(1e)d(lnx)/√(1-ln²x)]=arcsin(lnx)丨(x=1e)=πǘ。收敛。
    (3)小题。原式=∫(-∞0)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx+∫(0∞)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx。
    而，x∈(-∞0)时，丨x丨=-x、x∈(0∞)时，丨x丨=x，∴原式=2∫(0∞)xe^(-x)dx=2。收敛。
    供参考。
• P同学
  如何判断反常积分收敛性
  • 王老师
    1、定义法求积分值与判定积分的敛散性
    定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限
    即首先通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；然后对积分结果求极限；最后根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。
    2、反常积分收敛性的判定方法
    判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分
    (1)无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论
    (2)无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论
    【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。
    【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。
    【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。
• 王同学
  判断广义积分的敛散性，若收敛，计算其值
  • 老师
    ∫arctanx/x²dx
    =∫arctanxd（-1/x）
    =-arctanx/x+∫（1，+∞）dx/（x（1+x²））
    =-arctanx/x+∫（1/x-x/（1+x²））dx
    =-arctanx/x+ln|x|-1ǘln（1+x²）+c
    所以原积分=[-arctanx/x+ln|x|-1ǘln（1+x²）](1，+∞)=πǚ+1ǘln2