考研数学这题为什么可以用等价无穷小替换？

其他回答

• 鱼同学
  加减项的等价无穷小在什么条件下能用等价无穷小替换？
  • 孙老师
    加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
    举一个例子让你明白：
    求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
    用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
    我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
    而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。
• 月同学
  等价无穷小替换中加减法不能使用的问题有的人说替换前后两个式子要是等价无穷小有的...
  • 曹老师
    在对无穷小比无穷小求极限的过程中可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换加减时一般不能用等价无穷小替换加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在且极限不等于-1则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换.
• 不同学
  求教，高数等价无穷小运用，以及加减的可用情况
  • 严老师
    无穷小量的代换前提是用等价无穷小代换的量本身就是无穷小。例1中，当x趋于0时，1/x就趋于无穷大。不可代换。而例2中，当x趋向无穷，3/x趋于0，可以用无穷小进行代换。针对下面的题，limx-0 (tanx-sinx)/x^3，由于tanx和sinx是用加减号连接，不一定能用等价无穷小代换，且注意到分母为x的3次方，所以可以将它们麦克劳林展开至3阶，即tanx~x+【(1/3)x的3次方】，sinx~x-【(1/6)x的3次方】。至于limx-0 (cos2x-cox3x)/x^2 ，1-2(sinx）^2是对cos2x的升幂，当x趋向于0，1-cos2x~（1/2)4x方，1-cos3x~（1/2)9x方。故得上述各结果。