考研真题中如何理解等比数列求和sn=a1（1-q^n）/1-q？

其他回答

• 名同学
  sn=a1(1-q^n)/(1-q)公式如何理解
  • 孙老师
    等比公式的通项公式是比较容易理解的，因为当公比是q的时候，a[2]=a[1]q，a[3]=a[2]q=a[1]qq=a[1]q^2，依次类推就得到：a[n]=a[1]q^(n-1)。这样s[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)]。那么怎样用初中知识推导出等比数列求和公式呢？
    这里，首先要讲一下一个多项式的乘法公式。我们知道：(1-x)(1+x)=1-x^2，(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3，依次类推，就有：(1-x)[1+x+x^2+...+x^(n-1)]=1-x^n。其实这个一般化的公式也很好理解：前一个因式只有两项，当用1去乘后一因式的时候，后一个因式保持不变，当用-x去乘后一个因式的时候，积的符号正好相反，而积的绝对值正好与后一因式向后错开了一位。这样除了1和-x^n没有对应的互为相反的值以外，中间的值全部正负抵消了。这么一个多项式乘法的一般化公式，对于初中的学生来讲应该还是可以理解的，只是初步接触一个项数较多，以至于要用省略号来表示的因式时，稍感突兀一点罢了。
    有了这么一个多项式乘法的一般化公式，再来看等比数列求和公式，那就是水到渠成了：
    s[n]
    =a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
    =a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)]
    =a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)](1-q)/(1-q)
    =a[1](1-q^n)/(1-q)
• 锅同学
  分别用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式sn=na1+1/2n(n-1)d与等比数列的前n项和公式sn=a1(1-q^n)/1-q，(q≠1)
  • 朱老师
    证明1。当n=1时a1=a1+(1-1)d=a1成立s1=1×a1+=a1也成立。 2。假设当n=k时结论成立。即有ak=a1+（k-1）d，sk=ka1 +d 。 3。当n=k+1时，ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+kdsk+1=sk+ak+1=ka1 +d+ (a1+kd)=(k+1)a1 +d.所以当n=k+1时结论也成立。 故由数学归纳法知结论成立，证毕。
• 学同学
  等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那这个式子的的极限a1/(1-q)，是怎么推导出来的
  • 邵老师
    只有|q|<1的时候极限才是a1/(1-q)
    
    因为当|q|<1时，1-q^n，当n趋向于正无穷时，1-q^n趋向于1
    
    |q|>1时[a1(1-q^n)]/(1-q)不存在极限