大家好～西北师范大学数学与统计学院2026年硕士研究生招生考试自命题科目数学《泛函分析》同等学力和跨专业加试大纲已经公布了，接下来就和小编一起来看看具体有哪些内容吧！
 
西北师大2026数院泛函分析加试大纲
 
　　泛函分析考试大纲
　　(科目代码：781)
　　第一章度量空间与线性赋范空间
　　考试要点：
　　度量空间的概念，例子，度量空间中的收敛性与连续性，稠密性，可分性，Cauchy列与度量空间的完备性，压缩映像原理及其应用，线性赋范空间的概念，例子；Banach空间的概念。
　　考试内容：
　　第一节度量空间的概念与例子
　　距离及度量空间的定义，例子（欧氏空间，连续函数空间，数列空间等）。
　　第二节度量空间中的极限稠密性可分空间
　　领域的概念，收敛点列，有界集，具体空间中收敛性的意义；稠密性与可分空间的概念；不可分空间的例子。
　　连续映射
　　映射连续性的各种定义及其等价性。
　　Cauchy点列与完备度量空间
　　度量空间中Cauchy点列的概念，完备度量空间的定义，完备度量空间与不完备度量空间的各类例子，度量空间闭子空间的完备性。
　　度量空间的完备化
　　等距同构；度量空间的完备化定理；
　　压缩映像原理及其应用
　　压缩映像的定义；压缩映像原理；在隐函数定理及常微分方程中的应用。
　　线性空间
　　本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容，故只需简要回顾并强调说明无限维线性空间的特征即可。
　　线性赋范空间和Banach空间
　　范数，线性赋范空间和Banach空间的概念，依范数收敛，空间，空间，空间，空间，空间；空间；有限维赋范空间的拓扑同构性。
　　考核要求：
　　掌握度量空间，线性赋范空间和Banach空间的概念和性质，掌握映射连续性，度量空间的完备性等概念，熟悉空间，空间，空间，空间，空间，空间，透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。
　　第二章线性有界算子和线性连续泛函
　　考试要点：
　　线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。
　　考试内容：
　　第一节线性有界算子与线性连续泛函
　　线性有界算子与线性连续泛函的概念，例子，有界与连续的等价性，线性有界算子零空间的性质，算子范数。
　　第二节线性算子空间和共轭空间
　　线性算子空间的结构及其完备性，共轭空间，保距算子，同构映照，同构，一些具体空间的共轭空间。
　　考核要求：
　　掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数，共轭空间，保距算子，同构映照，同构等基本概念；掌握有界与连续的等价性定理，基本定理；能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。
　　第三章内积空间和Hilbert空间
　　考试要点：
　　内积空间，投影定理，Hilbert空间，就范直交系，Hilbert空间上线性连续泛函的表示。
　　考试内容：
　　第一节内积空间的基本概念
　　内积空间与Hilbert空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。
　　第二节投影定理
　　点到集合的距离，凸集，极小化向量定理，集合的正交，Hilbert空间的正交分解，投影算子及其性质。
　　Hilbert空间中的就范直交系
　　就范直交系，Fourier系数集，Bessel不等式，Pars*恒等式，完全就范直交系的定义与判定,Fourier展式，Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的同构。
　　Hilbert空间上的线性连续泛函
　　Riesz表示定理，共轭算子及其性质。
　　自伴算子、酉算子和正常算子
　　自伴算子、酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
　　考核要求：
　　掌握内积空间，Hilbert空间，平行四边形公式，就范直交系，Bessel不等式，Pars*恒等式，Fourier展式，投影算子，共轭算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握极小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理,Riesz表示定理等基本定理的内容与证明；能独立解答基本的习题。
　　第四章Banach空间中的基本定理
　　考试要点：
　　Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，线性赋范空间中的共轭算子，
　　泛函延拓定理
　　次线性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。
　　的共轭空间、Riesz表示定理
　　共轭算子
　　线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
　　纲定理和一致有界性定理
　　第一纲集，第二纲集，Baire纲定理,一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛
　　强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。
　　逆算子定理
　　逆算子定理及其证明。
　　闭图象定理
　　线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。
　　考核要求：
　　掌握本章涉及包含到的所有基本概念，基本定理；由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire纲定理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分，要求熟练掌握这些内容；能独立解答基本的习题。
　　第五章线性算子的谱
　　考试要点：
　　简要介绍线性算子的谱的概念，基本性质。
　　谱的概念
　　正则算子，正则点，正则集，谱点，特征值，特征向量，点谱，连续谱，例子。
　　线性有界算子谱的基本性质
　　谱集的闭性。
　　考核要求：
　　了解线性算子的谱的概念，基本性质。
　　三、参考书目
　　[1]程其襄,张奠宙,魏国强,胡善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础(第三版).北京:高等教育出版社,2010.
　　[2]王声望,郑维行.实变函数与泛函分析概要(第三版)第二册.北京:高等教育出版社,1992.
　　[3]夏道行,吴卓人,严绍宗,舒五昌.实变函数论与泛函分析(第二版)修订本下册.北京:高等教育出版社,2010.