大家好～山东理工大学数学与统计学院2026年硕士研究生招生考试《常微分方程》复试大纲已经公布了，接下来就和小编一起来看看具体有哪些内容吧！
考试范围：
一、常微分方程模型与基本概念
考试内容：常微分方程模型，基本概念。
考试要求：（1）了解常微分方程数学建模的思路和基本方法，并能建立简单的常微分方程数学模型；（2）了解微分方程的主要研究内容以及与分析学、代数学等学科的相关联系；（3）掌握微分方程有关的基本概念和用积分曲线、向量场思想处理微分方程解的结构等相关问题的方法。
二、一阶微分方程的初等解法
考试内容：变量分离方程与变量变换，线性微分方程与常数变易法，恰当微分方程与积分因子，一阶隐式微分方程。
考试要求：（1）熟练掌握变量分离方程、一阶线性微分方程及恰当微分方程求解的求解方法；（2）掌握可化为变量分离方程的方程类型和求解方法，并能熟练求解齐次方程、伯努利方程等方程；（3）掌握微分方程积分因子的判断、简单基本因子的求法以及相关内容；（4）熟练掌握四种形式的一阶隐式方程求解方法与解的参数表示；（5）了解微分方程的变量变换法求解思想，并能够用来求解黎卡提方程等一些特殊的微分方程。
三、一阶微分方程的解的存在定理
考试内容：解的存在唯一性定理与逐步逼近法，解的延拓，解对初值的连续性和可微性定理，包络和奇解。
考试要求：（1）理解微分方程解的存在唯一性定理的意义和证明方法，会用Picard逐步逼近法计算微分方程的近似解以及解的存在区间，会估计近似解与真解的误差；（2）掌握解的延拓定理，（3）了解解对初值的连续依赖性和解的连续性定理，解的可微性定理的要求条件和相应结论，了解定理的证明方法和基本思路；（4）掌握Grondwall不等式、贝尔曼引理的特征和在微分方程解的唯一性证明中的应用；(5)掌握解的存在唯一性条件与奇解的关系，了解曲线族的包络线，微分方程的奇解，克莱罗方程通解和奇解的相关求解方法。
四、高阶微分方程
考试内容：线性微分方程的一般理论，常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶方法，高阶微分方程的幂级数解法。
考试要求：(1)掌握高阶线性齐次和非齐次微分方程的通解结构，高阶微分方程的常数变易法；（2）熟练掌握常系数高阶线性微分方程的解法；（3）掌握可降阶的高阶微分方程类型及求解方法；（4）了解欧拉方程的求解方法以及与常系数线性微分方程之间的关系；（5）掌握微分方程的幂级数解法理论依据和求解思想。
线性微分方程组
考试内容：微分方程组的一般理论，齐次线性微分方程组，非齐次线性微分方程组，拉普拉斯变换。
考试要求：（1）掌握微分方程组的矩阵表示以及与高阶微分方程（组）之间的关系；（2）掌握齐次线性和非齐次微分方程组的通解结构定理和常数变易法的基本思想；（3）熟练掌握常系数线性齐次微分方程组的求解方法、基解矩阵的计算以及常系数线性非齐次方程组的求解方法；（4）掌握利用已知解降低微分方程组未知量个数的方法；（5）掌握拉普拉斯变换的相关性质及求解微分方程的思想方法。
非线性微分方程
考试内容：微分方程解的稳定性，李雅普诺夫定理和V-函数构造，奇点、极限环和平面相图。
考试要求：（1）理解微分方程解的稳定性定义，掌握李雅普诺夫定理，会构造简单的V-函数来判断相关方程组零解的稳定性；（2）了解平面系统的奇点定义，奇点的分类，并会判定各种初等奇点的定性和相图；（3）了解平面相图、极限环的意义，分支思想和混沌的多样性。
参考书目：
《常微分方程》第四版，王高雄等编著，高等教育出版社。
