CQF课程中涉及的数学和金融公式构成了量化金融领域整个学科的基石。这些公式不仅是理论研究的结晶，更是实际工作中定价、风险管理和交易策略的核心工具。本文将梳理CQF课程中最关键的公式，帮助初学者快速建立知识框架。
一、数学基础符号与术语
在深入量化金融公式前，必须理解数学基础术语和符号，这些是阅读复杂公式的通用语言。
逻辑符号包括存在量词（∃，表示“存在至少一个”）、蕴含符号（→，表示“如果…则…”）和“当且仅当”（iff），这些符号在数学证明和公式表达中至关重要。
例如：∃x∈N表示“存在一个自然数x”，x>2→x²>4表示“若x>2，则x²>4”。
数系从自然数（N）、整数（Z）、有理数（Q）到实数（R）和复数（C），为不同层次的数学分析提供了基础。
区间表示法简化了不等式的书写，如x≥a可表示为[a,∞)，在函数定义域和连续性分析中广泛应用。
二、随机微积分与布朗运动
随机微积分是量化金融中建模资产价格变动的核心数学工具。
几何布朗运动是Black-Scholes-Merton模型的基础，它假设资产价格的变化遵循以下随机微分方程：
dS=μSdt+σSdW
其中S为资产价格，μ为预期收益率，σ为波动率，dW是维纳过程（布朗运动）的增量。
布朗运动（维纳过程）具有独立增量且服从正态分布的特性，使其成为模拟金融市场随机性的理想工具。
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三、核心金融模型公式
Black-Scholes-Merton期权定价模型
Black-Scholes-Merton模型是期权定价领域的里程碑，其核心假设是标的资产收益率服从对数正态分布。
对于欧式看涨期权，其公式为：
C=S₀N(d₁)-Ke⁻ʳᵗN(d₂)
其中：
d₁=[ln(S₀/K)+(r+σ²/2)t]/(σ√t)
d₂=d₁-σ√t
C表示看涨期权价格，S₀是标的资产现价，K为行权价，r是无风险利率，t是到期时间，σ代表波动率，N(x)是标准正态累积分布函数。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法通过随机抽样估计复杂模型的数值结果，在期权定价和风险分析中极为有用。
其基础是利用随机数生成模拟资产路径：
Sᵢ=Sᵢ₋₁exp{(μ-σ²/2)Δt+σ√Δt Z}
Z为标准正态随机变量，Δt为时间步长。
Black-Scholes-Merton期权定价模型
Black-Scholes-Merton模型是期权定价领域的里程碑，其核心假设是标的资产收益率服从对数正态分布。
对于欧式看涨期权，其公式为：
C=S₀N(d₁)-Ke⁻ʳᵗN(d₂)
其中：
d₁=[ln(S₀/K)+(r+σ²/2)t]/(σ√t)
d₂=d₁-σ√t
C表示看涨期权价格，S₀是标的资产现价，K为行权价，r是无风险利率，t是到期时间，σ代表波动率，N(x)是标准正态累积分布函数。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法通过随机抽样估计复杂模型的数值结果，在期权定价和风险分析中极为有用。
其基础是利用随机数生成模拟资产路径：
Sᵢ=Sᵢ₋₁exp{(μ-σ²/2)Δt+σ√Δt Z}
Z为标准正态随机变量，Δt为时间步长。
