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FRM考点干货:Black-Scholes期权定价模型

发布时间:2017-05-22 08:51 来源:FRM

小编导读:

  Black-Scholes期权定价模型是FRM一级考试中较为重要的考点。计算题中,经常会考到BS定价公式,因此FRM考生们要熟记这个知识点。不过,由于期权定价受多种因素影响,期权价格的决定非常复杂,考生对于期权定价的其他知识只需了解即可。接下来,FRM君就给大家梳理一下Black-Scholes期权定价模型的相关考点内容。
 
  期权定价模型由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model)。该模型认为,只有股价的当前值与未来的预测有关;变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明,期权价格的决定非常复杂,合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
 
  期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时,此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报,任何非零投入的投资,只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报,而不能获得超额回报(超过与风险相当的报酬的利润)。从Black-Scholes期权定价模型的推导中,不难看出期权定价本质上就是无套利定价。
 
  B-S-M模型假设
 
  1、股票价格随机波动并服从对数正态分布;
 
  2、在期权有效期内,无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的;
 
  3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;
 
  4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃);
 
  5、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施;
 
  6、金融市场不存在无风险套利机会;
 
  7、金融资产的交易可以是连续进行的;
 
  8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
 
  B-S-M定价公式
 
  C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
 
  其中:
 
  d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)
 
  d2=d1-σ·√T
 
  C—期权初始合理价格
 
  X—期权执行价格
 
  S—所交易金融资产现价
 
  T—期权有效期
 
  r—连续复利计无风险利率
 
  σ—股票连续复利(对数)回报率的年度波动率(标准差)
 
  N(d1),N(d2)—正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点:
 
  *9,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次,而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06,则r=LN(1+0.06)=0.0583,即100以583%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
 
  第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=100/365=0.274。
 
  B-S-M模型的推导
 
  B-S-M模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:
 
  E[G]=E[max(ST-L,O)]
 
  其中,
 
  E[G]—看涨期权到期期望值
 
  ST—到期所交易金融资产的市场价值
 
  L—期权交割(实施)价
 
  到期有两种可能情况:
 
  1、如果ST>L,则期权实施以进帐(In-the-money)生效,且mAx(ST-L,O)=ST-L
 
  2、如果ST<L,则期权所有人放弃购买权力,期权以出帐(Out-of-the-money)失效,且有:
 
  max(ST-L,O)=0
 
  从而:
 
  E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)
 
  其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现,得期权初始合理价格:
 
  C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。
 
  首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值,即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布,即1NSTS~N(μT,σT2),所以E[1N(STS]=μT,STS~EN(μT,σT2)可以证明,相对价格期望值大于EμT,为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而,μT=T(γ-σ22),且有σT=σT
 
  其次,求(ST>L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差。所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三,求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围,所以,E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)
 
  其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT
 
  最后,将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

  来源微信公众号:FRM金融风险管理师(ID:gaodunfrm);版权归原作者所有!若需引用或转载本文章请保留此处信息。获取资料可关注FRM官方微信:“gaodunFRM”或加入FRM考试交流群:527842756!回复“资料”即可免费获取!
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